Vyřešit a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Vyřešit pro: a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 1, b hodnotou -68 a c hodnotou 225.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Proveďte výpočty.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} rovnice.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Aby mohl být produkt ≤0, musí být jedna z hodnot a-\left(7\sqrt{19}+34\right) a a-\left(34-7\sqrt{19}\right) ≥0 a druhá musí být ≤0. Předpokládejme, že a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné a.

$$a\in \emptyset$$

Předpokládejme, že a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 a a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$