Vyřešit {l}{x+2y=8}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$x+2y=8$$

Odečtěte hodnotu 2y od obou stran rovnice.

$$x=-2y+8$$

Dosaďte -2y+8 za x ve druhé rovnici, x-2y=2.

$$-2y+8-2y=2$$

Přidejte uživatele -2y do skupiny -2y.

$$-4y+8=2$$

Odečtěte hodnotu 8 od obou stran rovnice.

$$-4y=-6$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$y=\frac{3}{2}$$

V rovnici x=-2y+8 dosaďte y za proměnnou \frac{3}{2}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+8$$

Vynásobte číslo -2 číslem \frac{3}{2}.

$$x=-3+8$$

Přidejte uživatele 8 do skupiny -3.

$$x=5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Odečtěte rovnici x-2y=2 od rovnice x+2y=8 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$x-x+2y+2y=8-2$$

Přidejte uživatele x do skupiny -x. Členy x a -x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$2y+2y=8-2$$

Přidejte uživatele 2y do skupiny 2y.

$$4y=8-2$$

Přidejte uživatele 8 do skupiny -2.

$$4y=6$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

V rovnici x-2y=2 dosaďte y za proměnnou \frac{3}{2}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x-2\times \frac{3}{2}=2$$

Vynásobte číslo -2 číslem \frac{3}{2}.

$$x-3=2$$

Připočítejte 3 k oběma stranám rovnice.

$$x=5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$