Vyřešit 9x^2-48x+68=0

$$9 x ^ { 2 } - 48 x + 68 = 0$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i\approx 2,666666667+0,666666667i$$

$$x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i\approx 2,666666667-0,666666667i$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$9x^{2}-48x+68=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 9 za a, -48 za b a 68 za c.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 9\times 68}}{2\times 9}$$

Umocněte číslo -48 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 9\times 68}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 9.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-36\times 68}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslem 68.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-2448}}{2\times 9}$$

Přidejte uživatele 2304 do skupiny -2448.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{-144}}{2\times 9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla -144.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±12i}{2\times 9}$$

Opakem -48 je 48.

$$x=\frac{48±12i}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 9.

$$x=\frac{48±12i}{18}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{48±12i}{18}, když ± je plus. Přidejte uživatele 48 do skupiny 12i.

$$x=\frac{48+12i}{18}$$

Vydělte číslo 48+12i číslem 18.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{48±12i}{18}, když ± je minus. Odečtěte číslo 12i od čísla 48.

$$x=\frac{48-12i}{18}$$

Vydělte číslo 48-12i číslem 18.

$$x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-48x+68=0$$

Odečtěte hodnotu 68 od obou stran rovnice.

$$9x^{2}-48x+68-68=-68$$

Odečtením čísla 68 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$9x^{2}-48x=-68$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-48x}{9}=-\frac{68}{9}$$

Dělení číslem 9 ruší násobení číslem 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{48}{9}\right)x=-\frac{68}{9}$$

Vykraťte zlomek \frac{-48}{9} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{68}{9}$$

Vydělte -\frac{16}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{8}{3}. Potom přidejte čtvereček -\frac{8}{3} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{68}{9}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{8}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{-68+64}{9}$$

Připočítejte -\frac{68}{9} ke \frac{64}{9} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{4}{9}$$

Činitel x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{9}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{2}{3}i x-\frac{8}{3}=-\frac{2}{3}i$$

Připočítejte \frac{8}{3} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$