Vyřešit 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Odečtěte 25 od obou stran.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Odečtěte 25 od 9 a dostanete -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 9x^{2}+ax+bx-16. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -144 produktu.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Řešením je dvojice se součtem 7.

$$a=-9 b=16$$

Zapište 9x^{2}+7x-16 jako: \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Koeficient 9x v prvním a 16 ve druhé skupině.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Vytkněte společný člen x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-1=0 a 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Odečtěte hodnotu 25 od obou stran rovnice.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Odečtením čísla 25 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Odečtěte číslo 25 od čísla 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 9 za a, 7 za b a -16 za c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Umocněte číslo 7 na druhou.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslem -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Přidejte uživatele 49 do skupiny 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-7±25}{18}, když ± je plus. Přidejte uživatele -7 do skupiny 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Vydělte číslo 18 číslem 18.

$$x=1$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-7±25}{18}, když ± je minus. Odečtěte číslo 25 od čísla -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Vykraťte zlomek \frac{-32}{18} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Odečtěte hodnotu 9 od obou stran rovnice.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Odečtením čísla 9 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Odečtěte číslo 9 od čísla 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Dělení číslem 9 ruší násobení číslem 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Vydělte \frac{7}{9}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{7}{18}. Potom přidejte čtvereček \frac{7}{18} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{7}{18} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Připočítejte \frac{16}{9} ke \frac{49}{324} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Činitel x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Odečtěte hodnotu \frac{7}{18} od obou stran rovnice.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$