Vyřešit 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Vyřešte pro: n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Odečtěte 3n^{2} od obou stran.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Sloučením 9n^{2} a -3n^{2} získáte 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: 6n^{2}+an+bn+20. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 120 produktu.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Řešením je dvojice se součtem -23.

$$a=-15 b=-8$$

Zapište 6n^{2}-23n+20 jako: \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Vytkněte 3n z první závorky a -4 z druhé závorky.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Vytkněte společný člen 2n-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2n-5=0 a 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Odečtěte 3n^{2} od obou stran.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Sloučením 9n^{2} a -3n^{2} získáte 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 6 za a, -23 za b a 20 za c.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Umocněte číslo -23 na druhou.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslem 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Přidejte uživatele 529 do skupiny -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Opakem -23 je 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{23±7}{12}, když ± je plus. Přidejte uživatele 23 do skupiny 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Vykraťte zlomek \frac{30}{12} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{23±7}{12}, když ± je minus. Odečtěte číslo 7 od čísla 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Vykraťte zlomek \frac{16}{12} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Odečtěte 3n^{2} od obou stran.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Sloučením 9n^{2} a -3n^{2} získáte 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Odečtěte 20 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Vydělte obě strany hodnotou 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Dělení číslem 6 ruší násobení číslem 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{-20}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Koeficient (tj. -\frac{23}{6}) členu x vydělte číslem 2, abyste získali -\frac{23}{12}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu -\frac{23}{12}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{23}{12} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Připočítejte -\frac{10}{3} ke \frac{529}{144} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Rozložte rovnici n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Připočítejte \frac{23}{12} k oběma stranám rovnice.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$