Vyřešit 9(x+1)=sqrt{2x+5}

$$9 ( x + 1 ) = \sqrt { 2 x + 5 }$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{2\left(\sqrt{61}-40\right)}{81}\approx -0,79480865$$

Postup řešení

Umocněte obě strany rovnice na druhou.

$$\left(9\left(x+1\right)\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 9 číslem x+1.

$$\left(9x+9\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(9x+9\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$81x^{2}+162x+81=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}$$

Výpočtem \sqrt{2x+5} na 2 získáte 2x+5.

$$81x^{2}+162x+81=2x+5$$

Odečtěte 2x od obou stran.

$$81x^{2}+162x+81-2x=5$$

Sloučením 162x a -2x získáte 160x.

$$81x^{2}+160x+81=5$$

Odečtěte 5 od obou stran.

$$81x^{2}+160x+81-5=0$$

Odečtěte 5 od 81 a dostanete 76.

$$81x^{2}+160x+76=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 81 za a, 160 za b a 76 za c.

$$x=\frac{-160±\sqrt{160^{2}-4\times 81\times 76}}{2\times 81}$$

Umocněte číslo 160 na druhou.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-4\times 81\times 76}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 81.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-324\times 76}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -324 číslem 76.

$$x=\frac{-160±\sqrt{25600-24624}}{2\times 81}$$

Přidejte uživatele 25600 do skupiny -24624.

$$x=\frac{-160±\sqrt{976}}{2\times 81}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 976.

$$x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 81.

$$x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{162}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{162}, když ± je plus. Přidejte uživatele -160 do skupiny 4\sqrt{61}.

$$x=\frac{4\sqrt{61}-160}{162}$$

Vydělte číslo -160+4\sqrt{61} číslem 162.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-160±4\sqrt{61}}{162}, když ± je minus. Odečtěte číslo 4\sqrt{61} od čísla -160.

$$x=\frac{-4\sqrt{61}-160}{162}$$

Vydělte číslo -160-4\sqrt{61} číslem 162.

$$x=\frac{-2\sqrt{61}-80}{81}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81} x=\frac{-2\sqrt{61}-80}{81}$$

Dosaďte \frac{2\sqrt{61}-80}{81} za x v rovnici 9\left(x+1\right)=\sqrt{2x+5}.

$$9\left(\frac{2\sqrt{61}-80}{81}+1\right)=\sqrt{2\times \frac{2\sqrt{61}-80}{81}+5}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81} splňuje požadavky rovnice.

$$\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}$$

Dosaďte \frac{-2\sqrt{61}-80}{81} za x v rovnici 9\left(x+1\right)=\sqrt{2x+5}.

$$9\left(\frac{-2\sqrt{61}-80}{81}+1\right)=\sqrt{2\times \frac{-2\sqrt{61}-80}{81}+5}$$

Proveďte zjednodušení. Hodnota x=\frac{-2\sqrt{61}-80}{81} nesplňuje požadavky rovnici, protože levá a pravá strana mají opačné znaménka.

$$-\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\times 61^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{9}$$

Rovnice 9\left(x+1\right)=\sqrt{2x+5} má jedinečné řešení.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-80}{81}$$