Vyřešit 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: 9x^{2}+ax+bx+25. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 225 produktu.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Řešením je dvojice se součtem -30.

$$a=-15 b=-15$$

Zapište 9x^{2}-30x+25 jako: \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Vytkněte 3x z první závorky a -5 z druhé závorky.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Vytkněte společný člen 3x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Zapište rovnici jako druhou mocninu dvojčlenu.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Jestliže chcete najít řešení rovnice, vyřešte 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 9 za a, -30 za b a 25 za c.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Umocněte číslo -30 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslem 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Přidejte uživatele 900 do skupiny -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Opakem -30 je 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Vykraťte zlomek \frac{30}{18} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Odečtěte hodnotu 25 od obou stran rovnice.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Odečtením čísla 25 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Dělení číslem 9 ruší násobení číslem 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Vykraťte zlomek \frac{-30}{9} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Koeficient (tj. -\frac{10}{3}) členu x vydělte číslem 2, abyste získali -\frac{5}{3}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu -\frac{5}{3}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{5}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Připočítejte -\frac{25}{9} ke \frac{25}{9} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Rozložte rovnici x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Připočítejte \frac{5}{3} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená. Řešení jsou stejná.

$$x=\frac{5}{3}$$