Vyřešit 9left(3x+1right)^2-64=0

$$9 { \left(3x+1 \right) }^{ 2 } -64=0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{5}{9}\approx 0,555555556$$

$$x = -\frac{11}{9} = -1\frac{2}{9} \approx -1,222222222$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rozviňte výraz \left(3x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9\left(9x^{2}+6x+1\right)-64=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 9 číslem 9x^{2}+6x+1.

$$81x^{2}+54x+9-64=0$$

Odečtěte 64 od 9 a dostanete -55.

$$81x^{2}+54x-55=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 81x^{2}+ax+bx-55. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=54 ab=81\left(-55\right)=-4455$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -4455 produktu.

$$-1,4455 -3,1485 -5,891 -9,495 -11,405 -15,297 -27,165 -33,135 -45,99 -55,81$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+4455=4454 -3+1485=1482 -5+891=886 -9+495=486 -11+405=394 -15+297=282 -27+165=138 -33+135=102 -45+99=54 -55+81=26$$

Řešením je dvojice se součtem 54.

$$a=-45 b=99$$

Zapište 81x^{2}+54x-55 jako: \left(81x^{2}-45x\right)+\left(99x-55\right).

$$\left(81x^{2}-45x\right)+\left(99x-55\right)$$

Koeficient 9x v prvním a 11 ve druhé skupině.

$$9x\left(9x-5\right)+11\left(9x-5\right)$$

Vytkněte společný člen 9x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(9x-5\right)\left(9x+11\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 9x-5=0 a 9x+11=0.

$$x=\frac{5}{9} x=-\frac{11}{9}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(3x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9\left(9x^{2}+6x+1\right)-64=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 9 číslem 9x^{2}+6x+1.

$$81x^{2}+54x+9-64=0$$

Odečtěte 64 od 9 a dostanete -55.

$$81x^{2}+54x-55=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 81 za a, 54 za b a -55 za c.

$$x=\frac{-54±\sqrt{54^{2}-4\times 81\left(-55\right)}}{2\times 81}$$

Umocněte číslo 54 na druhou.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-4\times 81\left(-55\right)}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 81.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-324\left(-55\right)}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -324 číslem -55.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916+17820}}{2\times 81}$$

Přidejte uživatele 2916 do skupiny 17820.

$$x=\frac{-54±\sqrt{20736}}{2\times 81}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 20736.

$$x=\frac{-54±144}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 81.

$$x=\frac{-54±144}{162}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-54±144}{162}, když ± je plus. Přidejte uživatele -54 do skupiny 144.

$$x=\frac{90}{162}$$

Vykraťte zlomek \frac{90}{162} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 18.

$$x=\frac{5}{9}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-54±144}{162}, když ± je minus. Odečtěte číslo 144 od čísla -54.

$$x=-\frac{198}{162}$$

Vykraťte zlomek \frac{-198}{162} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 18.

$$x=-\frac{11}{9}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{5}{9} x=-\frac{11}{9}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(3x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9\left(9x^{2}+6x+1\right)-64=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 9 číslem 9x^{2}+6x+1.

$$81x^{2}+54x+9-64=0$$

Odečtěte 64 od 9 a dostanete -55.

$$81x^{2}+54x-55=0$$

Přidat 55 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$81x^{2}+54x=55$$

Vydělte obě strany hodnotou 81.

$$\frac{81x^{2}+54x}{81}=\frac{55}{81}$$

Dělení číslem 81 ruší násobení číslem 81.

$$x^{2}+\frac{54}{81}x=\frac{55}{81}$$

Vykraťte zlomek \frac{54}{81} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 27.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{55}{81}$$

Vydělte \frac{2}{3}, koeficient x termínu 2 k získání \frac{1}{3}. Potom přidejte čtvereček \frac{1}{3} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{55}{81}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{1}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{55}{81}+\frac{1}{9}$$

Připočítejte \frac{55}{81} ke \frac{1}{9} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{81}$$

Činitel x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{81}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{81}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{8}{9} x+\frac{1}{3}=-\frac{8}{9}$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{3} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{5}{9} x=-\frac{11}{9}$$