Vyřešit 81x^2-180x+100

$$81 x ^ { 2 } - 180 x + 100$$

Rozložit

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Postup řešení

Roznásobte výraz podle seskupení. Nejprve musí být výraz přepsán jako 81x^{2}+ax+bx+100. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-180 ab=81\times 100=8100$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 8100 produktu.

$$-1,-8100 -2,-4050 -3,-2700 -4,-2025 -5,-1620 -6,-1350 -9,-900 -10,-810 -12,-675 -15,-540 -18,-450 -20,-405 -25,-324 -27,-300 -30,-270 -36,-225 -45,-180 -50,-162 -54,-150 -60,-135 -75,-108 -81,-100 -90,-90$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-8100=-8101 -2-4050=-4052 -3-2700=-2703 -4-2025=-2029 -5-1620=-1625 -6-1350=-1356 -9-900=-909 -10-810=-820 -12-675=-687 -15-540=-555 -18-450=-468 -20-405=-425 -25-324=-349 -27-300=-327 -30-270=-300 -36-225=-261 -45-180=-225 -50-162=-212 -54-150=-204 -60-135=-195 -75-108=-183 -81-100=-181 -90-90=-180$$

Řešením je dvojice se součtem -180.

$$a=-90 b=-90$$

Zapište 81x^{2}-180x+100 jako: \left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right).

$$\left(81x^{2}-90x\right)+\left(-90x+100\right)$$

Koeficient 9x v prvním a -10 ve druhé skupině.

$$9x\left(9x-10\right)-10\left(9x-10\right)$$

Vytkněte společný člen 9x-10 s využitím distributivnosti.

$$\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Zapište rovnici jako druhou mocninu dvojčlenu.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Postup použití druhé mocniny dvojčlenu

Tento trojčlen má tvar druhé mocniny trojčlenu, který může být vynásobený společným činitelem. Druhé mocniny trojčlenů je možné rozložit nalezením druhých odmocnin vedoucího a koncového členu.

$$factor(81x^{2}-180x+100)$$

Najděte největšího společného dělitele koeficientů.

$$gcf(81,-180,100)=1$$

Najděte druhou odmocninu vedoucího členu, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Najděte druhou odmocninu koncového členu, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Druhá mocnina trojčlenu je druhá mocnina dvojčlenu, který je součtem nebo rozdílem druhých odmocnin vedoucího a koncového členu, přičemž znaménko se určuje podle znaménka středního členu druhé mocniny trojčlenu.

$$\left(9x-10\right)^{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-180x+100=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{\left(-180\right)^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Umocněte číslo -180 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 81.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -324 číslem 100.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Přidejte uživatele 32400 do skupiny -32400.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=\frac{-\left(-180\right)±0}{2\times 81}$$

Opakem -180 je 180.

$$x=\frac{180±0}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 81.

$$x=\frac{180±0}{162}$$

Rozložte původní výraz pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Nahraďte \frac{10}{9} za x_{1} a \frac{10}{9} za x_{2}.

$$81x^{2}-180x+100=81\left(x-\frac{10}{9}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Odečtěte zlomek \frac{10}{9} od zlomku x tak, že najdete společného jmenovatele a odečtete čitatele. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Odečtěte zlomek \frac{10}{9} od zlomku x tak, že najdete společného jmenovatele a odečtete čitatele. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{9x-10}{9}\times \frac{9x-10}{9}$$

Vynásobte zlomek \frac{9x-10}{9} zlomkem \frac{9x-10}{9} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{9\times 9}$$

Vynásobte číslo 9 číslem 9.

$$81x^{2}-180x+100=81\times \frac{\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)}{81}$$

Vykraťte 81, tj. největším společným dělitelem pro 81 a 81.

$$81x^{2}-180x+100=\left(9x-10\right)\left(9x-10\right)$$

Vyhodnotit

$$\left(9x-10\right)^{2}$$