Vyřešit 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Rozložit

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Postup řešení

Rozložte výraz vytýkáním. Nejdříve je nutné ho přepsat jako: 81x^{2}+ax+bx+100. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 8100 produktu.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Řešením je dvojice se součtem 180.

$$a=90 b=90$$

Zapište 81x^{2}+180x+100 jako: \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Vytkněte 9x z první závorky a 10 z druhé závorky.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Vytkněte společný člen 9x+10 s využitím distributivnosti.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Zapište rovnici jako druhou mocninu dvojčlenu.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Postup použití druhé mocniny dvojčlenu

Tento trojčlen má tvar druhé mocniny trojčlenu, který může být vynásobený společným činitelem. Druhé mocniny trojčlenů je možné rozložit nalezením druhých odmocnin vedoucího a koncového členu.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Najděte největšího společného dělitele koeficientů.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Najděte druhou odmocninu vedoucího členu, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Najděte druhou odmocninu koncového členu, 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Druhá mocnina trojčlenu je druhá mocnina dvojčlenu, který je součtem nebo rozdílem druhých odmocnin vedoucího a koncového členu, přičemž znaménko se určuje podle znaménka středního členu druhé mocniny trojčlenu.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Umocněte číslo 180 na druhou.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -324 číslem 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Přidejte uživatele 32400 do skupiny -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Rozložte původní výraz pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Nahraďte -\frac{10}{9} za x_{1} a -\frac{10}{9} za x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Zjednodušte všechny výrazy ve tvaru p-\left(-q\right) na p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Připočítejte \frac{10}{9} ke x zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Připočítejte \frac{10}{9} ke x zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Vynásobte zlomek \frac{9x+10}{9} zlomkem \frac{9x+10}{9} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Vynásobte číslo 9 číslem 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Vykraťte 81, tj. největším společným dělitelem pro 81 a 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Vyhodnotit

$$\left(9x+10\right)^{2}$$