Vyřešit 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Rozložit

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Postup řešení

Rozložte výraz vytýkáním. Nejdříve je nutné ho přepsat jako: 81x^{2}+ax+bx+25. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že a+b je pozitivní, a a b jsou kladné. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 2025 produktu.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Řešením je dvojice se součtem 90.

$$a=45 b=45$$

Zapište 81x^{2}+90x+25 jako: \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Vytkněte 9x z první závorky a 5 z druhé závorky.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Vytkněte společný člen 9x+5 s využitím distributivnosti.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Zapište rovnici jako druhou mocninu dvojčlenu.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Postup použití druhé mocniny dvojčlenu

Tento trojčlen má tvar druhé mocniny trojčlenu, který může být vynásobený společným činitelem. Druhé mocniny trojčlenů je možné rozložit nalezením druhých odmocnin vedoucího a koncového členu.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Najděte největšího společného dělitele koeficientů.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Najděte druhou odmocninu vedoucího členu, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Najděte druhou odmocninu koncového členu, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Druhá mocnina trojčlenu je druhá mocnina dvojčlenu, který je součtem nebo rozdílem druhých odmocnin vedoucího a koncového členu, přičemž znaménko se určuje podle znaménka středního členu druhé mocniny trojčlenu.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Umocněte číslo 90 na druhou.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo -324 číslem 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Přidejte uživatele 8100 do skupiny -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Rozložte původní výraz pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Nahraďte -\frac{5}{9} za x_{1} a -\frac{5}{9} za x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Zjednodušte všechny výrazy ve tvaru p-\left(-q\right) na p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Připočítejte \frac{5}{9} ke x zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Připočítejte \frac{5}{9} ke x zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Vynásobte zlomek \frac{9x+5}{9} zlomkem \frac{9x+5}{9} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Vynásobte číslo 9 číslem 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Vykraťte 81, tj. největším společným dělitelem pro 81 a 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Vyhodnotit

$$\left(9x+5\right)^{2}$$