Vyřešit 8y^3-27=0

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

Vyřešte pro: y (complex solution)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0,75-1,299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0,75+1,299038106i$$

Postup řešení

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -27 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 8. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$y=\frac{3}{2}$$

Podle definice kořenového činitele představuje y-k kořenový činitel polynomu pro každý kořen k. Vydělte číslo 8y^{3}-27 číslem 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 a dostanete 4y^{2}+6y+9. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 4, b hodnotou 6 a c hodnotou 9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Proveďte výpočty.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Řešení rovnice 4y^{2}+6y+9=0 při ± je plus a při ± je mínus.

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

Vyřešte pro: y

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Postup řešení

Podle věty o racionálních kořenech jsou všechny racionální kořeny polynomu ve tvaru \frac{p}{q}, kde p je dělitelem konstantního členu -27 a q je dělitelem vedoucího koeficientu 8. Uveďte všechny kandidáty \frac{p}{q}

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Najděte jeden takový kořen tak, že vyzkoušíte všechny celočíselné hodnoty od nejmenší hodnoty po absolutní hodnotu. Pokud žádné celočíselné kořeny nenajdete, vyzkoušejte zlomky.

$$y=\frac{3}{2}$$

Podle definice kořenového činitele představuje y-k kořenový činitel polynomu pro každý kořen k. Vydělte číslo 8y^{3}-27 číslem 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3 a dostanete 4y^{2}+6y+9. Umožňuje vyřešit rovnici, ve které se výsledek rovná 0.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 4, b hodnotou 6 a c hodnotou 9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Proveďte výpočty.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

Vzhledem k tomu, že v poli reálného čísla není definovaná druhá odmocnina záporného čísla, neexistují žádná řešení.

$$y\in \emptyset$$

Uveďte všechna zjištěná řešení.

$$y=\frac{3}{2}$$