Vyřešit 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Vyřešte pro: x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$7x-15y-2=0$$

Připočítejte 2 k oběma stranám rovnice.

$$7x-15y=2$$

Připočítejte 15y k oběma stranám rovnice.

$$7x=15y+2$$

Vydělte obě strany hodnotou 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{7} číslem 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Dosaďte \frac{15y+2}{7} za x ve druhé rovnici, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Přidejte uživatele \frac{15y}{7} do skupiny 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Odečtěte hodnotu \frac{2}{7} od obou stran rovnice.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{29}{7}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=\frac{19}{29}$$

V rovnici x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} dosaďte y za proměnnou \frac{19}{29}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Vynásobte zlomek \frac{15}{7} zlomkem \frac{19}{29} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Připočítejte \frac{2}{7} ke \frac{285}{203} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=\frac{49}{29}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Pokud chcete, aby byly členy 7x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Proveďte zjednodušení.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Odečtěte rovnici 7x+14y=21 od rovnice 7x-15y-2=0 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Přidejte uživatele 7x do skupiny -7x. Členy 7x a -7x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-15y-14y-2=-21$$

Přidejte uživatele -15y do skupiny -14y.

$$-29y-2=-21$$

Připočítejte 2 k oběma stranám rovnice.

$$-29y=-19$$

Vydělte obě strany hodnotou -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

V rovnici x+2y=3 dosaďte y za proměnnou \frac{19}{29}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Vynásobte číslo 2 číslem \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Odečtěte hodnotu \frac{38}{29} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{49}{29}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$