Vyřešit 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 7x^{2}+ax+bx-15. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -105 produktu.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

Řešením je dvojice se součtem -32.

$$a=-35 b=3$$

Zapište 7x^{2}-32x-15 jako: \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

Koeficient 7x v prvním a 3 ve druhé skupině.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Vytkněte společný člen x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-5=0 a 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 7 za a, -32 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Umocněte číslo -32 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -28 číslem -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Přidejte uživatele 1024 do skupiny 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

Opakem -32 je 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{32±38}{14}, když ± je plus. Přidejte uživatele 32 do skupiny 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Vydělte číslo 70 číslem 14.

$$x=5$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{32±38}{14}, když ± je minus. Odečtěte číslo 38 od čísla 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Vykraťte zlomek \frac{-6}{14} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Připočítejte 15 k oběma stranám rovnice.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odečtením čísla -15 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

Odečtěte číslo -15 od čísla 0.

$$7x^{2}-32x=15$$

Vydělte obě strany hodnotou 7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

Dělení číslem 7 ruší násobení číslem 7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

Vydělte -\frac{32}{7}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{16}{7}. Potom přidejte čtvereček -\frac{16}{7} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{16}{7} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Připočítejte \frac{15}{7} ke \frac{256}{49} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Činitel x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Připočítejte \frac{16}{7} k oběma stranám rovnice.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$