Vyřešit 7n^2-121n-128-3728geq0

$$7 n ^ { 2 } - 121 n - 128 - 3728 \geq 0$$

Vyřešit pro: n

$$n\in (-\infty,\frac{121-\sqrt{122609}}{14}]\cup [\frac{\sqrt{122609}+121}{14},\infty)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Odečtěte 3728 od -128 a dostanete -3856.

$$7n^{2}-121n-3856\geq 0$$

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$7n^{2}-121n-3856=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 7, b hodnotou -121 a c hodnotou -3856.

$$n=\frac{-\left(-121\right)±\sqrt{\left(-121\right)^{2}-4\times 7\left(-3856\right)}}{2\times 7}$$

Proveďte výpočty.

$$n=\frac{121±\sqrt{122609}}{14}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte n=\frac{121±\sqrt{122609}}{14} rovnice.

$$n=\frac{\sqrt{122609}+121}{14} n=\frac{121-\sqrt{122609}}{14}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$7\left(n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14}\right)\left(n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}\right)\geq 0$$

Aby byl produkt ≥0, musí být n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14} a n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14} jak ≤0, nebo obou ≥0. Zvažte případ, kdy n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14} a n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14} obojí ≤0.

$$n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14}\leq 0 n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}\leq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení n\leq \frac{121-\sqrt{122609}}{14}.

$$n\leq \frac{121-\sqrt{122609}}{14}$$

Zvažte případ, kdy n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14} a n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14} obojí ≥0.

$$n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}\geq 0 n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14}\geq 0$$

Pro obě nerovnice platí řešení n\geq \frac{\sqrt{122609}+121}{14}.

$$n\geq \frac{\sqrt{122609}+121}{14}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$n\leq \frac{121-\sqrt{122609}}{14}\text{; }n\geq \frac{\sqrt{122609}+121}{14}$$