Vyřešit 64a^2+48a-36>0

$$64 a ^ { 2 } + 48 a - 36 > 0$$

Vyřešit pro: a

$$a\in \left(-\infty,\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}\right)\cup \left(\frac{3\sqrt{5}-3}{8},\infty\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$64a^{2}+48a-36=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 64, b hodnotou 48 a c hodnotou -36.

$$a=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\left(-36\right)}}{2\times 64}$$

Proveďte výpočty.

$$a=\frac{-48±48\sqrt{5}}{128}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte a=\frac{-48±48\sqrt{5}}{128} rovnice.

$$a=\frac{3\sqrt{5}-3}{8} a=\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$64\left(a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8}\right)\left(a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}\right)>0$$

Pokud má součin představovat kladné číslo, musí být hodnoty a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8} a a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8} buď obě záporné, nebo obě kladné. Předpokládejme, že oba výrazy a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8} a a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8} jsou záporné.

$$a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8}<0 a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení a<\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}.

$$a<\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}$$

Předpokládejme, že oba výrazy a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8} a a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8} jsou kladné.

$$a-\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}>0 a-\frac{3\sqrt{5}-3}{8}>0$$

Pro obě nerovnice platí řešení a>\frac{3\sqrt{5}-3}{8}.

$$a>\frac{3\sqrt{5}-3}{8}$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$a<\frac{-3\sqrt{5}-3}{8}\text{; }a>\frac{3\sqrt{5}-3}{8}$$