Vyřešit 6x+9y=9text{and}-6x+6y=1

$$6 x + 9 y = 9 \text { and } - 6 x + 6 y = 1$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$6x+9y=9$$

Odečtěte hodnotu 9y od obou stran rovnice.

$$6x=-9y+9$$

Vydělte obě strany hodnotou 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-9y+9\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{6} číslem -9y+9.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}$$

Dosaďte \frac{-3y+3}{2} za x ve druhé rovnici, -6x+6y=1.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}\right)+6y=1$$

Vynásobte číslo -6 číslem \frac{-3y+3}{2}.

$$9y-9+6y=1$$

Přidejte uživatele 9y do skupiny 6y.

$$15y-9=1$$

Připočítejte 9 k oběma stranám rovnice.

$$15y=10$$

Vydělte obě strany hodnotou 15.

$$y=\frac{2}{3}$$

V rovnici x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2} dosaďte y za proměnnou \frac{2}{3}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}+\frac{3}{2}$$

Vynásobte zlomek -\frac{3}{2} zlomkem \frac{2}{3} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=-1+\frac{3}{2}$$

Přidejte uživatele \frac{3}{2} do skupiny -1.

$$x=\frac{1}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&-\frac{9}{6\times 6-9\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 9-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}\times 9+\frac{1}{15}\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Pokud chcete, aby byly členy 6x a -6x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem -6 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 6.

$$-6\times 6x-6\times 9y=-6\times 9,6\left(-6\right)x+6\times 6y=6$$

Proveďte zjednodušení.

$$-36x-54y=-54,-36x+36y=6$$

Odečtěte rovnici -36x+36y=6 od rovnice -36x-54y=-54 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$-36x+36x-54y-36y=-54-6$$

Přidejte uživatele -36x do skupiny 36x. Členy -36x a 36x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-54y-36y=-54-6$$

Přidejte uživatele -54y do skupiny -36y.

$$-90y=-54-6$$

Přidejte uživatele -54 do skupiny -6.

$$-90y=-60$$

Vydělte obě strany hodnotou -90.

$$y=\frac{2}{3}$$

V rovnici -6x+6y=1 dosaďte y za proměnnou \frac{2}{3}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$-6x+6\times \frac{2}{3}=1$$

Vynásobte číslo 6 číslem \frac{2}{3}.

$$-6x+4=1$$

Odečtěte hodnotu 4 od obou stran rovnice.

$$-6x=-3$$

Vydělte obě strany hodnotou -6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$