Vyřešit 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: 6x^{2}+ax+bx-5. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -30 produktu.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Řešením je dvojice se součtem 7.

$$a=-3 b=10$$

Zapište 6x^{2}+7x-5 jako: \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Vytkněte 3x z první závorky a 5 z druhé závorky.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-1=0 a 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 6 za a, 7 za b a -5 za c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Umocněte číslo 7 na druhou.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslem -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Přidejte uživatele 49 do skupiny 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-7±13}{12}, když ± je plus. Přidejte uživatele -7 do skupiny 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Vykraťte zlomek \frac{6}{12} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-7±13}{12}, když ± je minus. Odečtěte číslo 13 od čísla -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Vykraťte zlomek \frac{-20}{12} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Připočítejte 5 k oběma stranám rovnice.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Odečtením čísla -5 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Odečtěte číslo -5 od čísla 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Vydělte obě strany hodnotou 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Dělení číslem 6 ruší násobení číslem 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Koeficient (tj. \frac{7}{6}) členu x vydělte číslem 2, abyste získali \frac{7}{12}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu \frac{7}{12}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{7}{12} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Připočítejte \frac{5}{6} ke \frac{49}{144} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Rozložte rovnici x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Odečtěte hodnotu \frac{7}{12} od obou stran rovnice.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$