Vyřešit 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Postup použití kvadratické rovnice

Vynásobením 1+x a 1+x získáte \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Rozviňte výraz \left(1+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 54 číslem 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Odečtěte 1215 od obou stran.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Odečtěte 1215 od 54 a dostanete -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 54 za a, 108 za b a -1161 za c.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Umocněte číslo 108 na druhou.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Vynásobte číslo -216 číslem -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Přidejte uživatele 11664 do skupiny 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, když ± je plus. Přidejte uživatele -108 do skupiny 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Vydělte číslo -108+162\sqrt{10} číslem 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, když ± je minus. Odečtěte číslo 162\sqrt{10} od čísla -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Vydělte číslo -108-162\sqrt{10} číslem 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Vynásobením 1+x a 1+x získáte \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Rozviňte výraz \left(1+x\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 54 číslem 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Odečtěte 54 od obou stran.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Odečtěte 54 od 1215 a dostanete 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Vydělte obě strany hodnotou 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Dělení číslem 54 ruší násobení číslem 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Vydělte číslo 108 číslem 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Vykraťte zlomek \frac{1161}{54} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Vydělte 2, koeficient x termínu 2 k získání 1. Potom přidejte čtvereček 1 na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Umocněte číslo 1 na druhou.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Přidejte uživatele \frac{43}{2} do skupiny 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Činitel x^{2}+2x+1. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$