Vyřešit 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$5x-2y=1$$

Připočítejte 2y k oběma stranám rovnice.

$$5x=2y+1$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{5} číslem 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Dosaďte \frac{2y+1}{5} za x ve druhé rovnici, 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Vynásobte číslo 3 číslem \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Přidejte uživatele \frac{6y}{5} do skupiny 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Odečtěte hodnotu \frac{3}{5} od obou stran rovnice.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{31}{5}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=2$$

V rovnici x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5} dosaďte y za proměnnou 2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Vynásobte číslo \frac{2}{5} číslem 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Připočítejte \frac{1}{5} ke \frac{4}{5} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=2$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=1,y=2$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Pokud chcete, aby byly členy 5x a 3x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 3 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Proveďte zjednodušení.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Odečtěte rovnici 15x+25y=65 od rovnice 15x-6y=3 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Přidejte uživatele 15x do skupiny -15x. Členy 15x a -15x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-6y-25y=3-65$$

Přidejte uživatele -6y do skupiny -25y.

$$-31y=3-65$$

Přidejte uživatele 3 do skupiny -65.

$$-31y=-62$$

Vydělte obě strany hodnotou -31.

$$y=2$$

V rovnici 3x+5y=13 dosaďte y za proměnnou 2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$3x+5\times 2=13$$

Vynásobte číslo 5 číslem 2.

$$3x+10=13$$

Odečtěte hodnotu 10 od obou stran rovnice.

$$3x=3$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=1,y=2$$