Vyřešit 5x+2y=12text{and}3x-2y=4

$$5 x + 2 y = 12 \text { and } 3 x - 2 y = 4$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$5x+2y=12$$

Odečtěte hodnotu 2y od obou stran rovnice.

$$5x=-2y+12$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+12\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{5} číslem -2y+12.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}$$

Dosaďte \frac{-2y+12}{5} za x ve druhé rovnici, 3x-2y=4.

$$3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}\right)-2y=4$$

Vynásobte číslo 3 číslem \frac{-2y+12}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}-2y=4$$

Přidejte uživatele -\frac{6y}{5} do skupiny -2y.

$$-\frac{16}{5}y+\frac{36}{5}=4$$

Odečtěte hodnotu \frac{36}{5} od obou stran rovnice.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{16}{5}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=1$$

V rovnici x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5} dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{-2+12}{5}$$

Připočítejte \frac{12}{5} ke -\frac{2}{5} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=2,y=1$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 12+\frac{1}{8}\times 4\\\frac{3}{16}\times 12-\frac{5}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=2,y=1$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Pokud chcete, aby byly členy 5x a 3x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 3 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 5.

$$3\times 5x+3\times 2y=3\times 12,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 4$$

Proveďte zjednodušení.

$$15x+6y=36,15x-10y=20$$

Odečtěte rovnici 15x-10y=20 od rovnice 15x+6y=36 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$15x-15x+6y+10y=36-20$$

Přidejte uživatele 15x do skupiny -15x. Členy 15x a -15x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$6y+10y=36-20$$

Přidejte uživatele 6y do skupiny 10y.

$$16y=36-20$$

Přidejte uživatele 36 do skupiny -20.

$$16y=16$$

Vydělte obě strany hodnotou 16.

$$y=1$$

V rovnici 3x-2y=4 dosaďte y za proměnnou 1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$3x-2=4$$

Připočítejte 2 k oběma stranám rovnice.

$$3x=6$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=2,y=1$$