Vyřešit 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Vyřešte pro: y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 5 za a, -90 za b a 54 za c.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Umocněte číslo -90 na druhou.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslem 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Přidejte uživatele 8100 do skupiny -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Opakem -90 je 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Teď vyřešte rovnici y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, když ± je plus. Přidejte uživatele 90 do skupiny 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Vydělte číslo 90+6\sqrt{195} číslem 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Teď vyřešte rovnici y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, když ± je minus. Odečtěte číslo 6\sqrt{195} od čísla 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Vydělte číslo 90-6\sqrt{195} číslem 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Odečtěte hodnotu 54 od obou stran rovnice.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Odečtením čísla 54 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Dělení číslem 5 ruší násobení číslem 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Vydělte číslo -90 číslem 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Vydělte -18, koeficient x termínu 2 k získání -9. Potom přidejte čtvereček -9 na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Umocněte číslo -9 na druhou.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Přidejte uživatele -\frac{54}{5} do skupiny 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Činitel y^{2}-18y+81. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Připočítejte 9 k oběma stranám rovnice.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$