Vyřešit 5x^2-4x+16=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+16=0$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5}\approx 0,4+1,743559577i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}\approx 0,4-1,743559577i$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$5x^{2}-4x+16=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 5 za a, -4 za b a 16 za c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 16}}{2\times 5}$$

Umocněte číslo -4 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 16}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 16}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslem 16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-320}}{2\times 5}$$

Přidejte uživatele 16 do skupiny -320.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-304}}{2\times 5}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla -304.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{19}i}{2\times 5}$$

Opakem -4 je 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 5.

$$x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{10}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{10}, když ± je plus. Přidejte uživatele 4 do skupiny 4i\sqrt{19}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{19}i}{10}$$

Vydělte číslo 4+4i\sqrt{19} číslem 10.

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{10}, když ± je minus. Odečtěte číslo 4i\sqrt{19} od čísla 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}i+4}{10}$$

Vydělte číslo 4-4i\sqrt{19} číslem 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+16=0$$

Odečtěte hodnotu 16 od obou stran rovnice.

$$5x^{2}-4x+16-16=-16$$

Odečtením čísla 16 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$5x^{2}-4x=-16$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{16}{5}$$

Dělení číslem 5 ruší násobení číslem 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{16}{5}$$

Vydělte -\frac{4}{5}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{2}{5}. Potom přidejte čtvereček -\frac{2}{5} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{2}{5} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{16}{5}+\frac{4}{25}$$

Připočítejte -\frac{16}{5} ke \frac{4}{25} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{76}{25}$$

Činitel x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{76}{25}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{76}{25}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{2\sqrt{19}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{2\sqrt{19}i}{5}$$

Připočítejte \frac{2}{5} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}$$