Vyřešit 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 5x^{2}+ax+bx-42. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -210 produktu.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Řešením je dvojice se součtem -29.

$$a=-35 b=6$$

Zapište 5x^{2}-29x-42 jako: \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Koeficient 5x v prvním a 6 ve druhé skupině.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Vytkněte společný člen x-7 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-7=0 a 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 5 za a, -29 za b a -42 za c.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Umocněte číslo -29 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslem -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Přidejte uživatele 841 do skupiny 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Opakem -29 je 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{29±41}{10}, když ± je plus. Přidejte uživatele 29 do skupiny 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Vydělte číslo 70 číslem 10.

$$x=7$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{29±41}{10}, když ± je minus. Odečtěte číslo 41 od čísla 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Vykraťte zlomek \frac{-12}{10} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Připočítejte 42 k oběma stranám rovnice.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Odečtením čísla -42 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Odečtěte číslo -42 od čísla 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Dělení číslem 5 ruší násobení číslem 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Vydělte -\frac{29}{5}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{29}{10}. Potom přidejte čtvereček -\frac{29}{10} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{29}{10} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Připočítejte \frac{42}{5} ke \frac{841}{100} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Činitel x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Připočítejte \frac{29}{10} k oběma stranám rovnice.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$