Vyřešit 49x-57y=172;quad57x-49y=252

$$49 x - 57 y = 172 ; \quad 57 x - 49 y = 252$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$49x-57y=172$$

Připočítejte 57y k oběma stranám rovnice.

$$49x=57y+172$$

Vydělte obě strany hodnotou 49.

$$x=\frac{1}{49}\left(57y+172\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{49} číslem 57y+172.

$$x=\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}$$

Dosaďte \frac{57y+172}{49} za x ve druhé rovnici, 57x-49y=252.

$$57\left(\frac{57}{49}y+\frac{172}{49}\right)-49y=252$$

Vynásobte číslo 57 číslem \frac{57y+172}{49}.

$$\frac{3249}{49}y+\frac{9804}{49}-49y=252$$

Přidejte uživatele \frac{3249y}{49} do skupiny -49y.

$$\frac{848}{49}y+\frac{9804}{49}=252$$

Odečtěte hodnotu \frac{9804}{49} od obou stran rovnice.

$$\frac{848}{49}y=\frac{2544}{49}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{848}{49}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=3$$

V rovnici x=\frac{57}{49}y+\frac{172}{49} dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{57}{49}\times 3+\frac{172}{49}$$

Vynásobte číslo \frac{57}{49} číslem 3.

$$x=\frac{171+172}{49}$$

Připočítejte \frac{172}{49} ke \frac{171}{49} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=7$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=7,y=3$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}49&-57\\57&-49\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}&-\frac{-57}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}\\-\frac{57}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}&\frac{49}{49\left(-49\right)-\left(-57\times 57\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{848}&\frac{57}{848}\\-\frac{57}{848}&\frac{49}{848}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}172\\252\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{49}{848}\times 172+\frac{57}{848}\times 252\\-\frac{57}{848}\times 172+\frac{49}{848}\times 252\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=7,y=3$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$49x-57y=172,57x-49y=252$$

Pokud chcete, aby byly členy 49x a 57x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 57 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 49.

$$57\times 49x+57\left(-57\right)y=57\times 172,49\times 57x+49\left(-49\right)y=49\times 252$$

Proveďte zjednodušení.

$$2793x-3249y=9804,2793x-2401y=12348$$

Odečtěte rovnici 2793x-2401y=12348 od rovnice 2793x-3249y=9804 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$2793x-2793x-3249y+2401y=9804-12348$$

Přidejte uživatele 2793x do skupiny -2793x. Členy 2793x a -2793x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-3249y+2401y=9804-12348$$

Přidejte uživatele -3249y do skupiny 2401y.

$$-848y=9804-12348$$

Přidejte uživatele 9804 do skupiny -12348.

$$-848y=-2544$$

Vydělte obě strany hodnotou -848.

$$y=3$$

V rovnici 57x-49y=252 dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$57x-49\times 3=252$$

Vynásobte číslo -49 číslem 3.

$$57x-147=252$$

Připočítejte 147 k oběma stranám rovnice.

$$57x=399$$

Vydělte obě strany hodnotou 57.

$$x=7$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=7,y=3$$