Vyřešit 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 42x^{2}+ax+bx-3. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -126 produktu.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Řešením je dvojice se součtem -5.

$$a=-14 b=9$$

Zapište 42x^{2}-5x-3 jako: \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Koeficient 14x v prvním a 3 ve druhé skupině.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Vytkněte společný člen 3x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 3x-1=0 a 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 42 za a, -5 za b a -3 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Umocněte číslo -5 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Vynásobte číslo -168 číslem -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Přidejte uživatele 25 do skupiny 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Opakem -5 je 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{5±23}{84}, když ± je plus. Přidejte uživatele 5 do skupiny 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Vykraťte zlomek \frac{28}{84} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{5±23}{84}, když ± je minus. Odečtěte číslo 23 od čísla 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Vykraťte zlomek \frac{-18}{84} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Připočítejte 3 k oběma stranám rovnice.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Odečtením čísla -3 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Odečtěte číslo -3 od čísla 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Vydělte obě strany hodnotou 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Dělení číslem 42 ruší násobení číslem 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Vykraťte zlomek \frac{3}{42} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Vydělte -\frac{5}{42}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{5}{84}. Potom přidejte čtvereček -\frac{5}{84} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{5}{84} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Připočítejte \frac{1}{14} ke \frac{25}{7056} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Činitel x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Připočítejte \frac{5}{84} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$