Vyřešit 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 40x^{2}+ax+bx+1. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 40 produktu.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Řešením je dvojice se součtem -14.

$$a=-10 b=-4$$

Zapište 40x^{2}-14x+1 jako: \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Koeficient 10x v prvním a -1 ve druhé skupině.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Vytkněte společný člen 4x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 4x-1=0 a 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 40 za a, -14 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Umocněte číslo -14 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Přidejte uživatele 196 do skupiny -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Opakem -14 je 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{14±6}{80}, když ± je plus. Přidejte uživatele 14 do skupiny 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Vykraťte zlomek \frac{20}{80} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{14±6}{80}, když ± je minus. Odečtěte číslo 6 od čísla 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Vykraťte zlomek \frac{8}{80} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Odečtením čísla 1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Vydělte obě strany hodnotou 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Dělení číslem 40 ruší násobení číslem 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Vykraťte zlomek \frac{-14}{40} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Vydělte -\frac{7}{20}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{7}{40}. Potom přidejte čtvereček -\frac{7}{40} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{7}{40} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Připočítejte -\frac{1}{40} ke \frac{49}{1600} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Činitel x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Připočítejte \frac{7}{40} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$