Vyřešit 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$4x-y=5$$

Připočítejte y k oběma stranám rovnice.

$$4x=y+5$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Dosaďte \frac{5+y}{4} za x ve druhé rovnici, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Vynásobte číslo -4 číslem \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Přidejte uživatele -y do skupiny 5y.

$$4y-5=7$$

Připočítejte 5 k oběma stranám rovnice.

$$4y=12$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$y=3$$

V rovnici x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Připočítejte \frac{5}{4} ke \frac{3}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=2,y=3$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=2,y=3$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Pokud chcete, aby byly členy 4x a -4x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem -4 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Proveďte zjednodušení.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Odečtěte rovnici -16x+20y=28 od rovnice -16x+4y=-20 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Přidejte uživatele -16x do skupiny 16x. Členy -16x a 16x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$4y-20y=-20-28$$

Přidejte uživatele 4y do skupiny -20y.

$$-16y=-20-28$$

Přidejte uživatele -20 do skupiny -28.

$$-16y=-48$$

Vydělte obě strany hodnotou -16.

$$y=3$$

V rovnici -4x+5y=7 dosaďte y za proměnnou 3. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$-4x+5\times 3=7$$

Vynásobte číslo 5 číslem 3.

$$-4x+15=7$$

Odečtěte hodnotu 15 od obou stran rovnice.

$$-4x=-8$$

Vydělte obě strany hodnotou -4.

$$x=2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=2,y=3$$