Vyřešit 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$4x-5y=2$$

Připočítejte 5y k oběma stranám rovnice.

$$4x=5y+2$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} za x ve druhé rovnici, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Přidejte uživatele \frac{5y}{4} do skupiny 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{2} od obou stran rovnice.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{45}{4}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=\frac{18}{5}$$

V rovnici x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2} dosaďte y za proměnnou \frac{18}{5}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Vynásobte zlomek \frac{5}{4} zlomkem \frac{18}{5} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Připočítejte \frac{1}{2} ke \frac{9}{2} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Pokud chcete, aby byly členy 4x a x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 1 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Proveďte zjednodušení.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Odečtěte rovnici 4x+40y=164 od rovnice 4x-5y=2 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Přidejte uživatele 4x do skupiny -4x. Členy 4x a -4x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-5y-40y=2-164$$

Přidejte uživatele -5y do skupiny -40y.

$$-45y=2-164$$

Přidejte uživatele 2 do skupiny -164.

$$-45y=-162$$

Vydělte obě strany hodnotou -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

V rovnici x+10y=41 dosaďte y za proměnnou \frac{18}{5}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Vynásobte číslo 10 číslem \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Odečtěte hodnotu 36 od obou stran rovnice.

$$x=5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$