Vyřešit 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$4x-5y=-14$$

Připočítejte 5y k oběma stranám rovnice.

$$4x=5y-14$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslem 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Dosaďte \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} za x ve druhé rovnici, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Vynásobte číslo 7 číslem \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Přidejte uživatele \frac{35y}{4} do skupiny y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Připočítejte \frac{49}{2} k oběma stranám rovnice.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou \frac{39}{4}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=2$$

V rovnici x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2} dosaďte y za proměnnou 2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Vynásobte číslo \frac{5}{4} číslem 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Připočítejte -\frac{7}{2} ke \frac{5}{2} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=-1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=2$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-1,y=2$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Pokud chcete, aby byly členy 4x a 7x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 7 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Odečtěte rovnici 28x+4y=-20 od rovnice 28x-35y=-98 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Přidejte uživatele 28x do skupiny -28x. Členy 28x a -28x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-35y-4y=-98+20$$

Přidejte uživatele -35y do skupiny -4y.

$$-39y=-98+20$$

Přidejte uživatele -98 do skupiny 20.

$$-39y=-78$$

Vydělte obě strany hodnotou -39.

$$y=2$$

V rovnici 7x+y=-5 dosaďte y za proměnnou 2. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$7x+2=-5$$

Odečtěte hodnotu 2 od obou stran rovnice.

$$7x=-7$$

Vydělte obě strany hodnotou 7.

$$x=-1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=2$$