Vyřešit 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, -7 za b a -1 za c.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo -7 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 49 do skupiny 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Opakem -7 je 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele 7 do skupiny \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo \sqrt{65} od čísla 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Připočítejte 1 k oběma stranám rovnice.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Odečtením čísla -1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Odečtěte číslo -1 od čísla 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Vydělte -\frac{7}{4}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{7}{8}. Potom přidejte čtvereček -\frac{7}{8} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{7}{8} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Připočítejte \frac{1}{4} ke \frac{49}{64} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Činitel x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Připočítejte \frac{7}{8} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$