Vyřešit 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 4x^{2}+ax+bx+1. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 4 produktu.

$$-1,-4 -2,-2$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Řešením je dvojice se součtem -5.

$$a=-4 b=-1$$

Zapište 4x^{2}-5x+1 jako: \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Koeficient 4x v prvním a -1 ve druhé skupině.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Vytkněte společný člen x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-1=0 a 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, -5 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo -5 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 25 do skupiny -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Opakem -5 je 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{5±3}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele 5 do skupiny 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Vydělte číslo 8 číslem 8.

$$x=1$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{5±3}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 3 od čísla 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{2}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Odečtením čísla 1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Vydělte -\frac{5}{4}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{5}{8}. Potom přidejte čtvereček -\frac{5}{8} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{5}{8} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Připočítejte -\frac{1}{4} ke \frac{25}{64} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Činitel x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Připočítejte \frac{5}{8} k oběma stranám rovnice.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$