Vyřešit 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: 4x^{2}+ax+bx+1. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 4 produktu.

$$-1,-4 -2,-2$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Řešením je dvojice se součtem -4.

$$a=-2 b=-2$$

Zapište 4x^{2}-4x+1 jako: \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Vytkněte 2x z první závorky a -1 z druhé závorky.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-1 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Zapište rovnici jako druhou mocninu dvojčlenu.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Jestliže chcete najít řešení rovnice, vyřešte 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, -4 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo -4 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 16 do skupiny -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Opakem -4 je 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{4}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Odečtením čísla 1 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Vydělte číslo -4 číslem 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Koeficient (tj. -1) členu x vydělte číslem 2, abyste získali -\frac{1}{2}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Připočítejte -\frac{1}{4} ke \frac{1}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Rozložte rovnici x^{2}-x+\frac{1}{4}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Připočítejte \frac{1}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená. Řešení jsou stejná.

$$x=\frac{1}{2}$$