Vyřešit 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 4x^{2}+ax+bx-27. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -108 produktu.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Řešením je dvojice se součtem -12.

$$a=-18 b=6$$

Zapište 4x^{2}-12x-27 jako: \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Koeficient 2x v prvním a 3 ve druhé skupině.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-9 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-9=0 a 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, -12 za b a -27 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo -12 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 144 do skupiny 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Opakem -12 je 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{12±24}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele 12 do skupiny 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{36}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{12±24}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 24 od čísla 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{-12}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Připočítejte 27 k oběma stranám rovnice.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Odečtením čísla -27 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Odečtěte číslo -27 od čísla 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Vydělte číslo -12 číslem 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Vydělte -3, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{3}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{3}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{3}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Připočítejte \frac{27}{4} ke \frac{9}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Činitel x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Připočítejte \frac{3}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$