Vyřešit 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Odečtěte hodnotu 16 od obou stran rovnice.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Odečtením čísla 16 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Odečtěte číslo 16 od čísla 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, -11 za b a 14 za c.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo -11 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 121 do skupiny -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Opakem -11 je 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele 11 do skupiny i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo i\sqrt{103} od čísla 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Odečtěte hodnotu 30 od obou stran rovnice.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Odečtením čísla 30 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Odečtěte číslo 30 od čísla 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Vykraťte zlomek \frac{-14}{4} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Vydělte -\frac{11}{4}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{11}{8}. Potom přidejte čtvereček -\frac{11}{8} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{11}{8} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Připočítejte -\frac{7}{2} ke \frac{121}{64} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Činitel x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Připočítejte \frac{11}{8} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$