Vyřešit 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 4x^{2}+ax+bx-81. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -324 produktu.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Řešením je dvojice se součtem 48.

$$a=-6 b=54$$

Zapište 4x^{2}+48x-81 jako: \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Koeficient 2x v prvním a 27 ve druhé skupině.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-3 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-3=0 a 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, 48 za b a -81 za c.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo 48 na druhou.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 2304 do skupiny 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-48±60}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele -48 do skupiny 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{12}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-48±60}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 60 od čísla -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{-108}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Připočítejte 81 k oběma stranám rovnice.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Odečtením čísla -81 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Odečtěte číslo -81 od čísla 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Vydělte číslo 48 číslem 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Vydělte 12, koeficient x termínu 2 k získání 6. Potom přidejte čtvereček 6 na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Umocněte číslo 6 na druhou.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Přidejte uživatele \frac{81}{4} do skupiny 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Činitel x^{2}+12x+36. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Odečtěte hodnotu 6 od obou stran rovnice.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$