Vyřešit 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Vyřešte pro: n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Odečtěte 11 od obou stran.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: 4n^{2}+an+bn-11. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -44 produktu.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Řešením je dvojice se součtem -7.

$$a=-11 b=4$$

Zapište 4n^{2}-7n-11 jako: \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Vytkněte n z výrazu 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Vytkněte společný člen 4n-11 s využitím distributivnosti.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 4n-11=0 a n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4n^{2}-7n=11$$

Odečtěte hodnotu 11 od obou stran rovnice.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Odečtením čísla 11 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, -7 za b a -11 za c.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo -7 na druhou.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 49 do skupiny 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Opakem -7 je 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{7±15}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele 7 do skupiny 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{22}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Teď vyřešte rovnici n=\frac{7±15}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 15 od čísla 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Vydělte číslo -8 číslem 8.

$$n=-1$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Koeficient (tj. -\frac{7}{4}) členu x vydělte číslem 2, abyste získali -\frac{7}{8}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu -\frac{7}{8}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{7}{8} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Připočítejte \frac{11}{4} ke \frac{49}{64} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Rozložte rovnici n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Připočítejte \frac{7}{8} k oběma stranám rovnice.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$