Vyřešit 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Vyřešte pro: x (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Postup použití kvadratické rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4x^{2}+4 číslem 2x^{2}+1 a slučte stejné členy.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x^{2}-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Pokud chcete mocninu dále umocnit, vynásobte mocnitele. Vynásobením 2 a 2 získáte 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 5 číslem x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Odečtěte 5x^{4} od obou stran.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Sloučením 8x^{4} a -5x^{4} získáte 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Přidat 10x^{2} na obě strany.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Sloučením 12x^{2} a 10x^{2} získáte 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Odečtěte 5 od obou stran.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Odečtěte 5 od 4 a dostanete -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Nahraďtet za x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 3, b hodnotou 22 a c hodnotou -1.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} rovnice.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Od x=t^{2} jsou řešení získána vyhodnocením x=±\sqrt{t} pro každou t.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Vyřešte pro: x

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Postup použití kvadratické rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4x^{2}+4 číslem 2x^{2}+1 a slučte stejné členy.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Rozviňte výraz \left(x^{2}-1\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Pokud chcete mocninu dále umocnit, vynásobte mocnitele. Vynásobením 2 a 2 získáte 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 5 číslem x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Odečtěte 5x^{4} od obou stran.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Sloučením 8x^{4} a -5x^{4} získáte 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Přidat 10x^{2} na obě strany.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Sloučením 12x^{2} a 10x^{2} získáte 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Odečtěte 5 od obou stran.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Odečtěte 5 od 4 a dostanete -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Nahraďtet za x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 3, b hodnotou 22 a c hodnotou -1.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Proveďte výpočty.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} rovnice.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Od x=t^{2} se řešení získávají vyhodnocením x=±\sqrt{t} pro pozitivní t.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$