Vyřešit 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Rozviňte výraz \left(x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Odečtěte 169 od 4 a dostanete -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 4x^{2}+ax+bx-165. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -660 produktu.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Řešením je dvojice se součtem 8.

$$a=-22 b=30$$

Zapište 4x^{2}+8x-165 jako: \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Koeficient 2x v prvním a 15 ve druhé skupině.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-11 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-11=0 a 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Odečtěte 169 od 4 a dostanete -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, 8 za b a -165 za c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo 8 na druhou.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 64 do skupiny 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-8±52}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele -8 do skupiny 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{44}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-8±52}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 52 od čísla -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{-60}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(x+1\right)^{2} podle binomické věty \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Odečtěte 169 od 4 a dostanete -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Přidat 165 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$4x^{2}+8x=165$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Vydělte číslo 8 číslem 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Vydělte 2, koeficient x termínu 2 k získání 1. Potom přidejte čtvereček 1 na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Umocněte číslo 1 na druhou.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Přidejte uživatele \frac{165}{4} do skupiny 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Činitel x^{2}+2x+1. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Odečtěte hodnotu 1 od obou stran rovnice.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$