Vyřešit 4(2x-13)^2-9(2x-13)+2=0

$$4 ( 2 x - 13 ) ^ { 2 } - 9 ( 2 x - 13 ) + 2 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = \frac{53}{8} = 6\frac{5}{8} = 6,625$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Postup použití kvadratické rovnice

Rozviňte výraz \left(2x-13\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem 4x^{2}-52x+169.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -9 číslem 2x-13.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Sloučením -208x a -18x získáte -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Sečtením 676 a 117 získáte 793.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Sečtením 793 a 2 získáte 795.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 16 za a, -226 za b a 795 za c.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{\left(-226\right)^{2}-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Umocněte číslo -226 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 16.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-64\times 795}}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo -64 číslem 795.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-50880}}{2\times 16}$$

Přidejte uživatele 51076 do skupiny -50880.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{196}}{2\times 16}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 196.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±14}{2\times 16}$$

Opakem -226 je 226.

$$x=\frac{226±14}{2\times 16}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 16.

$$x=\frac{226±14}{32}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{226±14}{32}, když ± je plus. Přidejte uživatele 226 do skupiny 14.

$$x=\frac{240}{32}$$

Vykraťte zlomek \frac{240}{32} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 16.

$$x=\frac{15}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{226±14}{32}, když ± je minus. Odečtěte číslo 14 od čísla 226.

$$x=\frac{212}{32}$$

Vykraťte zlomek \frac{212}{32} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{53}{8}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Rozviňte výraz \left(2x-13\right)^{2} podle binomické věty \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo 4 číslem 4x^{2}-52x+169.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

S využitím distributivnosti vynásobte číslo -9 číslem 2x-13.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Sloučením -208x a -18x získáte -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Sečtením 676 a 117 získáte 793.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Sečtením 793 a 2 získáte 795.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Odečtěte 795 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$16x^{2}-226x=-795$$

Vydělte obě strany hodnotou 16.

$$\frac{16x^{2}-226x}{16}=-\frac{795}{16}$$

Dělení číslem 16 ruší násobení číslem 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{226}{16}\right)x=-\frac{795}{16}$$

Vykraťte zlomek \frac{-226}{16} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x=-\frac{795}{16}$$

Vydělte -\frac{113}{8}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{113}{16}. Potom přidejte čtvereček -\frac{113}{16} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}=-\frac{795}{16}+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{113}{16} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=-\frac{795}{16}+\frac{12769}{256}$$

Připočítejte -\frac{795}{16} ke \frac{12769}{256} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=\frac{49}{256}$$

Činitel x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{113}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{113}{16}=-\frac{7}{16}$$

Připočítejte \frac{113}{16} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$