Vyřešit 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 4x^{2}+ax+bx-15. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -60 produktu.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Řešením je dvojice se součtem -4.

$$a=-10 b=6$$

Zapište 4x^{2}-4x-15 jako: \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Koeficient 2x v prvním a 3 ve druhé skupině.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Vytkněte společný člen 2x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 2x-5=0 a 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, -4 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo -4 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 16 do skupiny 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Opakem -4 je 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{4±16}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele 4 do skupiny 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{20}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{4±16}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 16 od čísla 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Vykraťte zlomek \frac{-12}{8} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Připočítejte 15 k oběma stranám rovnice.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odečtením čísla -15 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Odečtěte číslo -15 od čísla 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Vydělte číslo -4 číslem 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Vydělte -1, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{1}{2}. Potom přidejte čtvereček -\frac{1}{2} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Připočítejte \frac{15}{4} ke \frac{1}{4} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Činitel x^{2}-x+\frac{1}{4}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Připočítejte \frac{1}{2} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$