Vyřešit 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Vyřešte pro: x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Odečtěte 120 od obou stran.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Rovnici vyřešíte tak, že rozložíte levou stranu vytýkáním. Levou stranu je nutné nejdříve přepsat jako: x^{2}+ax+bx-30. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je kladný, má kladné číslo vyšší absolutní hodnotu než záporné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -30 produktu.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Řešením je dvojice se součtem 1.

$$a=-5 b=6$$

Zapište x^{2}+x-30 jako: \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Vytkněte x z první závorky a 6 z druhé závorky.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Vytkněte společný člen x-5 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-5=0 a x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$4x^{2}+4x=120$$

Odečtěte hodnotu 120 od obou stran rovnice.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Odečtením čísla 120 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 4 za a, 4 za b a -120 za c.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Umocněte číslo 4 na druhou.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslem -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Přidejte uživatele 16 do skupiny 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-4±44}{8}, když ± je plus. Přidejte uživatele -4 do skupiny 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Vydělte číslo 40 číslem 8.

$$x=5$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{-4±44}{8}, když ± je minus. Odečtěte číslo 44 od čísla -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Vydělte číslo -48 číslem 8.

$$x=-6$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=5 x=-6$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Vydělte obě strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Dělení číslem 4 ruší násobení číslem 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Vydělte číslo 4 číslem 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Vydělte číslo 120 číslem 4.

$$x^{2}+x=30$$

Koeficient (tj. 1) členu x vydělte číslem 2, abyste získali \frac{1}{2}. K oběma stranám rovnice pak přičtěte druhou mocninu \frac{1}{2}. V tomto kroku se z levé strany rovnice stane čtvercové číslo.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek \frac{1}{2} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Přidejte uživatele 30 do skupiny \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Rozložte rovnici x^{2}+x+\frac{1}{4}. Když rovnice x^{2}+bx+c představuje čtvercové číslo, obecně se vždy dá rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Odečtěte hodnotu \frac{1}{2} od obou stran rovnice.

$$x=5 x=-6$$