Vyřešit 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

Vyřešte pro: y

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 3y^{2}+ay+by+10. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 30 produktu.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Řešením je dvojice se součtem -11.

$$a=-6 b=-5$$

Zapište 3y^{2}-11y+10 jako: \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

Koeficient 3y v prvním a -5 ve druhé skupině.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

Vytkněte společný člen y-2 s využitím distributivnosti.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte y-2=0 a 3y-5=0.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 3 za a, -11 za b a 10 za c.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Umocněte číslo -11 na druhou.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslem 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

Přidejte uživatele 121 do skupiny -120.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 1.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

Opakem -11 je 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

Teď vyřešte rovnici y=\frac{11±1}{6}, když ± je plus. Přidejte uživatele 11 do skupiny 1.

$$y=\frac{12}{6}$$

Vydělte číslo 12 číslem 6.

$$y=2$$

Teď vyřešte rovnici y=\frac{11±1}{6}, když ± je minus. Odečtěte číslo 1 od čísla 11.

$$y=\frac{10}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{10}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$y=\frac{5}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Odečtěte hodnotu 10 od obou stran rovnice.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

Odečtením čísla 10 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3y^{2}-11y=-10$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

Dělení číslem 3 ruší násobení číslem 3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Vydělte -\frac{11}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{11}{6}. Potom přidejte čtvereček -\frac{11}{6} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{11}{6} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

Připočítejte -\frac{10}{3} ke \frac{121}{36} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

Činitel y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

Připočítejte \frac{11}{6} k oběma stranám rovnice.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$