Vyřešit 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Zvolte jednu z rovnice a vyřešit ji x izolováním x na levé straně rovnice.

$$3x-y=2$$

Připočítejte y k oběma stranám rovnice.

$$3x=y+2$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Dosaďte \frac{2+y}{3} za x ve druhé rovnici, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Vynásobte číslo 2 číslem \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Přidejte uživatele \frac{2y}{3} do skupiny -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Odečtěte hodnotu \frac{4}{3} od obou stran rovnice.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Vynásobte obě strany hodnotou -3.

$$y=-5$$

V rovnici x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} dosaďte y za proměnnou -5. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Připočítejte \frac{2}{3} ke -\frac{5}{3} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=-1$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=-5$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Násobení matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-1,y=-5$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Odečtěte rovnici 2x-y=3 od rovnice 3x-y=2 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

Přidejte uživatele -y do skupiny y. Členy -y a y se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$3x-2x=2-3$$

Přidejte uživatele 3x do skupiny -2x.

$$x=2-3$$

Přidejte uživatele 2 do skupiny -3.

$$x=-1$$

V rovnici 2x-y=3 dosaďte x za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné y vypočítat přímo.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$-2-y=3$$

Připočítejte 2 k oběma stranám rovnice.

$$-y=5$$

Vydělte obě strany hodnotou -1.

$$y=-5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-1,y=-5$$