Vyřešit 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$3x-5y=4$$

Připočítejte 5y k oběma stranám rovnice.

$$3x=5y+4$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Dosaďte \frac{5y+4}{3} za x ve druhé rovnici, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Vynásobte číslo 9 číslem \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Přidejte uživatele 15y do skupiny -2y.

$$13y+12=7$$

Odečtěte hodnotu 12 od obou stran rovnice.

$$13y=-5$$

Vydělte obě strany hodnotou 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

V rovnici x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} dosaďte y za proměnnou -\frac{5}{13}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Vynásobte zlomek \frac{5}{3} zlomkem -\frac{5}{13} tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Pokud je to možné, zlomek pak co nejvíce vykraťte.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Připočítejte \frac{4}{3} ke -\frac{25}{39} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=\frac{9}{13}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Pokud chcete, aby byly členy 3x a 9x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 9 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Proveďte zjednodušení.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Odečtěte rovnici 27x-6y=21 od rovnice 27x-45y=36 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Přidejte uživatele 27x do skupiny -27x. Členy 27x a -27x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$-45y+6y=36-21$$

Přidejte uživatele -45y do skupiny 6y.

$$-39y=36-21$$

Přidejte uživatele 36 do skupiny -21.

$$-39y=15$$

Vydělte obě strany hodnotou -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

V rovnici 9x-2y=7 dosaďte y za proměnnou -\frac{5}{13}. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Vynásobte číslo -2 číslem -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Odečtěte hodnotu \frac{10}{13} od obou stran rovnice.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Vydělte obě strany hodnotou 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$