Vyřešit 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 3x^{2}+ax+bx+84. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je kladný, mají hodnoty a a b stejné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, mají obě hodnoty a i b záporné znaménko. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají 252 produktu.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Řešením je dvojice se součtem -32.

$$a=-18 b=-14$$

Zapište 3x^{2}-32x+84 jako: \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Koeficient 3x v prvním a -14 ve druhé skupině.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Vytkněte společný člen x-6 s využitím distributivnosti.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte x-6=0 a 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 3 za a, -32 za b a 84 za c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Umocněte číslo -32 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslem 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Přidejte uživatele 1024 do skupiny -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Opakem -32 je 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{32±4}{6}, když ± je plus. Přidejte uživatele 32 do skupiny 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Vydělte číslo 36 číslem 6.

$$x=6$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{32±4}{6}, když ± je minus. Odečtěte číslo 4 od čísla 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{28}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Odečtěte hodnotu 84 od obou stran rovnice.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Odečtením čísla 84 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Dělení číslem 3 ruší násobení číslem 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Vydělte číslo -84 číslem 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Vydělte -\frac{32}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{16}{3}. Potom přidejte čtvereček -\frac{16}{3} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{16}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Přidejte uživatele -28 do skupiny \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Činitel x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Připočítejte \frac{16}{3} k oběma stranám rovnice.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$