Vyřešit 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Vyřešte pro: x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Postup použití rozkladu vytýkáním

Chcete-li rovnici vyřešit, koeficient na levé straně seskupte. Nejprve je třeba přepsát levou stranu jako 3x^{2}+ax+bx-16. Pokud chcete najít a a b, nastavte systém, který se má vyřešit.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Vzhledem k tomu, že výraz ab je záporný, mají hodnoty a a b opačné znaménko. Vzhledem k tomu, že výraz a+b je záporný, má záporné číslo vyšší absolutní hodnotu než kladné číslo. Uveďte všechny celočíselné páry, které dávají -48 produktu.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Vypočtěte součet pro jednotlivé dvojice.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Řešením je dvojice se součtem -2.

$$a=-8 b=6$$

Zapište 3x^{2}-2x-16 jako: \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Koeficient x v prvním a 2 ve druhé skupině.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Vytkněte společný člen 3x-8 s využitím distributivnosti.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Chcete-li najít řešení rovnic, vyřešte 3x-8=0 a x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Postup použití kvadratické rovnice

Všechny rovnice ve tvaru ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit jako kvadratickou rovnici: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkem kvadratické rovnice jsou dvě řešení, jedno pro součet a druhé pro rozdíl ±.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Tato rovnice má standardní tvar: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorce, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, dosaďte 3 za a, -2 za b a -16 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Umocněte číslo -2 na druhou.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -4 číslem 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo -12 číslem -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Přidejte uživatele 4 do skupiny 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Vypočítejte druhou odmocninu čísla 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Opakem -2 je 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Vynásobte číslo 2 číslem 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{2±14}{6}, když ± je plus. Přidejte uživatele 2 do skupiny 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Vykraťte zlomek \frac{16}{6} na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Teď vyřešte rovnici x=\frac{2±14}{6}, když ± je minus. Odečtěte číslo 14 od čísla 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Vydělte číslo -12 číslem 6.

$$x=-2$$

Rovnice je teď vyřešená.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Postup doplnění na druhou mocninu dvojčlenu

Takové kvadratické rovnice je možné vyřešit doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Pokud chcete rovnici doplnit na druhou mocninu dvojčlenu, musí být nejdříve ve tvaru x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Připočítejte 16 k oběma stranám rovnice.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Odečtením čísla -16 od něj samotného dostaneme hodnotu 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Odečtěte číslo -16 od čísla 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Dělení číslem 3 ruší násobení číslem 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Vydělte -\frac{2}{3}, koeficient x termínu 2 k získání -\frac{1}{3}. Potom přidejte čtvereček -\frac{1}{3} na obě strany rovnice. Tímto krokem bude levá strana rovnice ve výrazu o dokonalý čtverec.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Umocněte zlomek -\frac{1}{3} na druhou tak, že umocníte na druhou čitatele i jmenovatele zlomku.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Připočítejte \frac{16}{3} ke \frac{1}{9} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Činitel x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Obecně platí, že pokud je x^{2}+bx+cdokonalý čtverec, dá se vždy rozložit jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Vypočítejte druhou odmocninu obou stran rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Proveďte zjednodušení.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Připočítejte \frac{1}{3} k oběma stranám rovnice.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$