Vyřešit 3x^2+x-2<0

$$3 x ^ { 2 } + x - 2 < 0$$

Vyřešit pro: x

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Postup použití kvadratické rovnice

Pokud chcete nerovnici vyřešit, rozložte levou stranu na činitele. Kvadratický mnohočlen můžete rozložit pomocí transformace ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kde x_{1} a x_{2} jsou řešení kvadratické rovnice ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+x-2=0$$

Všechny rovnice typu ax^{2}+bx+c=0 je možné vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V uvedeném vzorci nahraďte a hodnotou 3, b hodnotou 1 a c hodnotou -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Proveďte výpočty.

$$x=\frac{-1±5}{6}$$

Pokud je ± plus a ± je mínus, vyřešte x=\frac{-1±5}{6} rovnice.

$$x=\frac{2}{3} x=-1$$

Zapište nerovnici tak, aby obsahovala získaná řešení.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+1\right)<0$$

Aby byl přípravek záporný, x-\frac{2}{3} a x+1 musí být opačným znaménkem. Předpokládejme, že výraz x-\frac{2}{3} je kladný a výraz x+1 je záporný.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+1<0$$

Toto neplatí pro libovolnou hodnotu proměnné x.

$$x\in \emptyset$$

Předpokládejme, že výraz x+1 je kladný a výraz x-\frac{2}{3} je záporný.

$$x+1>0 x-\frac{2}{3}<0$$

Pro obě nerovnice platí řešení x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Konečné řešení představuje sjednocení získaných řešení.

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$