Vyřešit 3x+y=-2;2x-y=-8

$$3 x + y = - 2 ; 2 x - y = - 8$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$3x+y=-2,2x-y=-8$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$3x+y=-2$$

Odečtěte hodnotu y od obou stran rovnice.

$$3x=-y-2$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem -y-2.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Dosaďte \frac{-y-2}{3} za x ve druhé rovnici, 2x-y=-8.

$$2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=-8$$

Vynásobte číslo 2 číslem \frac{-y-2}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}-y=-8$$

Přidejte uživatele -\frac{2y}{3} do skupiny -y.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{4}{3}=-8$$

Připočítejte \frac{4}{3} k oběma stranám rovnice.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{20}{3}$$

Vydělte obě strany rovnice hodnotou -\frac{5}{3}, což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

$$y=4$$

V rovnici x=-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} dosaďte y za proměnnou 4. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=-\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{3} číslem 4.

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

Připočítejte -\frac{2}{3} ke -\frac{4}{3} zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

$$x=-2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-2,y=4$$

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$3x+y=-2,2x-y=-8$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\\\frac{2}{5}\left(-2\right)-\frac{3}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-2,y=4$$

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$3x+y=-2,2x-y=-8$$

Pokud chcete, aby byly členy 3x a 2x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem 2 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 3.

$$2\times 3x+2y=2\left(-2\right),3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\left(-8\right)$$

Proveďte zjednodušení.

$$6x+2y=-4,6x-3y=-24$$

Odečtěte rovnici 6x-3y=-24 od rovnice 6x+2y=-4 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$6x-6x+2y+3y=-4+24$$

Přidejte uživatele 6x do skupiny -6x. Členy 6x a -6x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$2y+3y=-4+24$$

Přidejte uživatele 2y do skupiny 3y.

$$5y=-4+24$$

Přidejte uživatele -4 do skupiny 24.

$$5y=20$$

Vydělte obě strany hodnotou 5.

$$y=4$$

V rovnici 2x-y=-8 dosaďte y za proměnnou 4. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$2x-4=-8$$

Připočítejte 4 k oběma stranám rovnice.

$$2x=-4$$

Vydělte obě strany hodnotou 2.

$$x=-2$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-2,y=4$$