Vyřešit 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Vyřešte pro: x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Postup použití dosazení

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 6y od obou stran.

$$3x+9-6y=0$$

Odečtěte 9 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$3x-6y=-9$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat 12 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$-2x-2y=12$$

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro x izolováním x na levé straně rovnice.

$$3x-6y=-9$$

Připočítejte 6y k oběma stranám rovnice.

$$3x=6y-9$$

Vydělte obě strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslem 6y-9.

$$x=2y-3$$

Dosaďte 2y-3 za x ve druhé rovnici, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Vynásobte číslo -2 číslem 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Přidejte uživatele -4y do skupiny -2y.

$$-6y+6=12$$

Odečtěte hodnotu 6 od obou stran rovnice.

$$-6y=6$$

Vydělte obě strany hodnotou -6.

$$y=-1$$

V rovnici x=2y-3 dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Vynásobte číslo 2 číslem -1.

$$x=-2-3$$

Přidejte uživatele -3 do skupiny -2.

$$x=-5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-5,y=-1$$

Postup použití matic

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 6y od obou stran.

$$3x+9-6y=0$$

Odečtěte 9 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$3x-6y=-9$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat 12 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$-2x-2y=12$$

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Napište rovnice ve tvaru matic.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Inverzní maticí matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matice \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Proveďte výpočet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahuje prvky matice x a y.

$$x=-5,y=-1$$

Postup použití eliminace

Zvažte použití první rovnice. Odečtěte 6y od obou stran.

$$3x+9-6y=0$$

Odečtěte 9 od obou stran. Po odečtení hodnoty od nuly dostaneme stejnou zápornou hodnotu.

$$3x-6y=-9$$

Zvažte použití druhé rovnice. Přidat 12 na obě strany. Po přičtení hodnoty nula dostaneme původní hodnotu.

$$-2x-2y=12$$

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Pokud chcete, aby byly členy 3x a -2x stejné, vynásobte všechny členy na obou stranách první rovnice číslem -2 a všechny členy na obou stranách druhé rovnice číslem 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Proveďte zjednodušení.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Odečtěte rovnici -6x-6y=36 od rovnice -6x+12y=18 tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Přidejte uživatele -6x do skupiny 6x. Členy -6x a 6x se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

$$12y+6y=18-36$$

Přidejte uživatele 12y do skupiny 6y.

$$18y=18-36$$

Přidejte uživatele 18 do skupiny -36.

$$18y=-18$$

Vydělte obě strany hodnotou 18.

$$y=-1$$

V rovnici -2x-2y=12 dosaďte y za proměnnou -1. Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné x vypočítat přímo.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Vynásobte číslo -2 číslem -1.

$$-2x+2=12$$

Odečtěte hodnotu 2 od obou stran rovnice.

$$-2x=10$$

Vydělte obě strany hodnotou -2.

$$x=-5$$

Systém je teď vyřešený.

$$x=-5,y=-1$$